Donada la circumferència:

volem saber les coordenades del centre, la longitud del radi, obtindre un punt qualsevol de la circumferència i calcular l'equació de la recta tangent que passa per eixe punt.

Si sabem ja que es tracta de l'equació d'una circumferència, aquesta ha de poder-se expressar en la forma:

on $\left(a,b\right)$ seran les coordenades del centre i $r$ la longitud del radi.

La pregunta és cóm passar de la expressió $\left(1\right)$ a l'expressió $\left(2\right)$?

Per a fer això emprarem el mètode de completar els quadrats. Posem l'expressió $\left(1\right)$ en la forma:

Per a completar els quadrats en els dos parèntesis anteriors, recordem que $\left(x^2-2ax+a^2\right)=(x-a{)}^2$, així que l'expressió $\left(3\right)$ la posem:

En la part esquerra de $\left(4\right)$, si dins dels parèntesis afegim $5^2$ i $3^2$, és clar que per a que $\left(3\right)$ i $\left(4\right)$ siguen equivalents, hem de restar després dels dos parèntesis $5^2$ i $3^2$.

Finalment, de $\left(4\right)$ obtenim:

expressió aquesta última que podem posar així:

Comparant les expressions $\left(2\right)$ i $\left(6\right)$, podem ja dir que es tracta d'una circumferència de centre en $\left(5,3\right)$ i radi $3$ unitats de longitud.

Per obtindre un dels punts de la circumferència podem considerar que en l'expressió $\left(6\right)$ la variable $y$ és funció de la variable $x\mathrm{.}$ De manera que donant-li valors a $x$ obtendríem punts $\left(x,y\right)\mathrm{.}$

Però no qualsevol valor de $x$ donaria punts $\left(x,y\right)$ de la circumferència, és a dir que satisfarien l'equació $\left(6\right)\mathrm{.}$ Per exemple, considerem el punt d'abscissa $x=0.$ Al substituir-lo en l'expressió $\left(6\right)$ obtenim:

Equació que, al resoldre-la no té cap valor real (les solucions de la última equació son imaginàries: $y_1=3+4i,y_2=3-4i$.

Els valors de $x$ que donariem punts $\left(x,y\right)$ de la circumferència estan en l'interval tancat de centre en $x=5$ i radi $3,$ és a dir $2\le x\le 8$, donant només un punt per als valors d'abcissa $x=2$ i $x=8$ (extrems de l'interval) i dos punts $\left(x,y\right)$ per a qualsevol valor d'abscissa que complisca $2<x<8.$ Per què passa això? Ho vegem a continuació:

Tractem d'aïllar la $y$ en l'expressió $(x-5{)}^2+(y-3{)}^2=3^2\left(6\right)$. Tenim:

$(y-3{)}^2=3^2-(x-5{)}^2$, és a dir,

$(y-3{)}^2=9-(x^2-10x+25)=-x^2+10x-16,$i, per tant,

$\left(y-3\right)=\pm \sqrt{-x^2+10x-16}$, i, finalment,

$y=3\pm \sqrt{-x^2+10x-16,}$així que temin dues funcions:

$y_1=$$3+\sqrt{-x^2+10x-16,}$ i l'altra és: $y_2=3-\sqrt{-x^2+10x-16}$

Per a que qualsevol d'estes funcions estiga definida ha de ser: $-x^2+10x-16\ge 0$. Resolem aquesta equació de segon grau com ja sabem, i tenim:

$x=\frac{-10\pm \sqrt{10^2-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-10\pm 6}{-2},$ de manera que tenim: $x_1=2$ i $x_2=8$, que són els extrems de l'interval en que estan definides les funcions $y_1$i $y_2\mathrm{.}$

Al recorrer la variable $x$ tots els nombres reals que van de $x=2$ a $x=8$, la funció $y_1$ ens donarà tots els punts de la part superior de la circumferència, de la mateixa manera que al recorrer $x$ tots els nombres comprenguts en el mateix interval, la funció $y_2$ ens proporcionarà tots els punts de la part inferior, però quan $x=2$ o $x=8,$ les fórmules $y_1$ i $y_2$ donen el mateix valor i els punts coincideixen. Dins de l'interval eixes fórmules donen punts distints i para un mateix valor de $x$ són punts simètrics respecte de la recta $y=3.$

Considerem, per exemple el punt d'abcissa $x=4.$ Tenim:

$y_1=3+\sqrt{-4^2+10\cdot 4-16}=3+2\sqrt{2}$, i també tenim

$y_2=3-\sqrt{-4^2+10\cdot 4-16}=3-2\sqrt{2}$, y els punts $\left(4,3+2\sqrt{2}\right),$ $\left(4,3-2\sqrt{2}\right)$ són simètrics respecte de la recta $y=3$.

Posem ara l0'expressió $(x-5{)}^2+(y-3{)}^2=3^2\left(6\right)$ que anem a derivar respecte de la variable $x\mathrm{.}$ Com que $y$ és una funció de $x$ , posarem $y\text{'}$ com la derivada de $y;$ tenint en compte que la derivada d'una constant (en aquest cas $3^2$) és zero, tenim ja si derivem la igualtat (6) respecte de $x$:

Aïllant $y\text{'}$ tenim finalment $y\text{'}=\frac{-2\left(x-5\right)}{2\left(y-3\right)}=\frac{-x+5}{y-3}$, expressió que, com sabem ens dóna el pendent de la tangent a la circumferència en el punt $\left(x,y\right)$ sempre que aquest punt siga un dels quals la funció $y_1$(o $y_2)$ estiga definida com ja hem vist.

En concret, el pendent de la circumferència en el punt $\left(4,3+2\sqrt{2}\right),$ és:

Finalment sabem que l'equació d'una recta de la qual sabem un punt $\left(x_0,y_0\right)$ y el pendent $m$ és:

Subsituint,

$2\sqrt{2}y=x-4+8+6\sqrt{2}$ o bé:

$x-2\sqrt{y}+4+6\sqrt{2}=0$,

equació de la recta tangent a la circumferència pel punt considerat.

L'equació en la forma explícita és:

$y=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(x-4\right)+(3+2\sqrt{2)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}x-\frac{4}{2\sqrt{2}}+3+2\sqrt{2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}x+3+\frac{2}{\sqrt{2}}\approx 0,3536x+4,4142$.

En el gràfic anterior estan representats la circumferència (eq1) amb centre (5,2) en verd, el centre (punt B), el punt $\left(4,3+2\sqrt{2}\right),$ (punt A), i la recta tangent (en blau) a la circumferència per aquest últim punt A. I la recta $y=3$ que separa els punts que produeixen les funcions $y_1$ i $y_2$ al variar la $x$ en l'interval que hem indicat més amunt.