Utilitzant només la definició de derivada, calcular la derivada de la funció $y=2x-1$ en el punt $x=-1$.

---

En l'últim pas, veiem que la funció derivada de la funció $y=f\left(x\right)=2x-1$ és la funció constant $y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)=2$.

El que volem dir en això és que en el punt $x=-1,$ la funció derivada valdrà 2. Evidentment, tambié valdrà 2 en quelsevol altre punt, per exemple -5, 0, 10, etc. ja que $f\text{'}\left(x\right)$ és constant per a qualsevol valor de $x\mathrm{.}$

---

Siga ara la funció $y=f\left(x\right)=\frac{2}{x-3}$ . Tracteu d'obtindre la funció derivada a partir de la definició. Volem saber si esta funció és derivable en els punts -3, 0 i 3.

---

Quan $h\to 0,$ la funció derivada queda $y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)=\frac{-2}{(x-3{)}^2}$.

En el punt $x=-3,$ $y\text{'}=f\text{'}\left(-3\right)=$$\frac{-2}{(-3-3{)}^2}=\frac{-2}{36}=-\frac{1}{18}\mathrm{.}$

En el punt $x=0,$ $y\text{'}=f\text{'}\left(0\right)=\frac{-2}{(-3{)}^2}=-\frac{2}{9}$

Finalment, en el punt $x=3,$ la funció $y=f\left(x\right)=\frac{2}{x-3}$ no està definida, per tant la funció no és contínua en este punt, i, per tant no es derivable en este punt.

---

En quins punts no seria derivable la funció $y=f\left(x\right)=\frac{2}{x^2-9}?$

---

En els punts en els quals $x^2=9,$ el denominador de la funció se anul.la, en eixos punts la funció no està definida i, per tant no és contínua ni derivable. Si resolem l'equació $x^2=9,$ els punts $-3$ i 3 són els punts en els que la funció no seria derivable.

---

En quins punts no seria derivable la funció $y=f\left(x\right)=tanx$ (funció tangent trigonomètrica)?

---

La funció tangent no és contínua en els punts on $x$ val $k\frac{\pi }{2}$, on $k$és quansevol enter de valor absolut positiu, és a dir, $k=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\mathrm{...}$

L'angle $x$ l'expressem en radians. La discontinuitat de la funció es pot vore en el següent gràfic de la funció tangent que, com sabem és periòdica, de període $\frac{\pi }{2}$:

---

En quins punts no serien derivables les funcions: