Resoldrem la següent equació matricial calculant la inversa.

---

En primer lloc, calculem el determinant de la matriu dels coeficients

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -3\\ 1& -1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$.

Per la regla de Sarrús, tenim:

$2\cdot \left(-1\right)\cdot 1-\left(1\cdot 2\cdot 1\right)-3\cdot 1\cdot 0=-2-2-0=-4\ne 0.$ El fet que el determinant siga distint de zero ja ens dóna informació que la matriu té inversa. Anem a calcular-la.

La matriu transposta de $A$ és $A\text{'}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ -3& 2& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$

Si prescindim de la fila i columna de cada element de la matriu anterior, ens resulten, respectívament els següents determinants (i el valor de cadascú d'ells): per a la primera fila:

$\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 2& 1\end{array}\right|=-1;$ $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 1\end{array}\right|=1;$ $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -3& 2\end{array}\right|=2-3=-1.$

Per a la segona fila:

$\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=1-2=-1;$ $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& 1\end{array}\right|=2+3=5;$ $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& 2\end{array}\right|=4+3=7.$

I per a la tercera fila,

$\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=0+1=1;$ $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=0-1=-1;$ $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2-1=-3$.

Estos valors determinen una nova matriu:

A partir de la matriu anterior creem la que segueix en la qual si la suma dels dos subíndexs de $u$ és parell (per exemple $u_{33}$) li conservem el signe, i si és imparell (per exemple $u_{21}$) li'l canviem. La nova matriu és:

Finalment, la matriu inversa de $A$ és el producte de dividir cada un dels components de la matriu anterior pel determinant, és a dir,

Multiplicant els dos termes de l'equació matricial per $A^{-1},$ tenim:

$A^{-1}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -3\\ 1& -1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=A^{-1}\cdot A\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=A^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 4\end{array}\right)$.

Finalment tenim $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0,25& 0,25& 0,25\\ -0,25& -1,25& 1,75\\ -0,25& -0,25& 0,75\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$,

és a dir, $x=3,$ $y=-2,$ $z=1.$

---

---

Exercicis que es resolen (o no) aplicant el anterior mètode són:

---

(Solució: $x=2;$ $y=3;$ $z=-2.$)

---

(Solució: $x=2;$ $y=-2;$ $z=5.)$

---

Aquest exercici no es pot resoldre pel mètode de calcular la inversa. Per què? - El determinant de la matriu dels coeficients és $0,$ y, per tant, aquesta matriu no té inversa. Però dit això, el sistema sí té solucions. Una d'elles és $x=2,$ $y=1,$ $z=3.$

El rang de la matriu dels coeficients $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)$ és $2,$ i el determinant de la matriu ampliada $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 7\\ 2& 1& 1& 8\\ 1& -1& 0& 1\end{array}\right)$ és també $2$. D'acord and el teorema de Rouché Frobenius, el sistema és compatible. Però al ser el rang de la matriu dels coeficients $2$ mentre que el nombre de files (o de columnes) d'aquesta matriu és $3$, el sistema és compatible però indeterminat, la qual cosa vol dir que existeixen infinites solucions (apart de $x=2,$ $y=1,$ $z=3)$ que satisfan el sistema.

---

De nou, l'exercici no es pot calcular pel mètode de obtindre primer la matriu inversa de la dels coeficients perquè el determinant d'aquesta matriu és $0.$ Si calculem els rangs de la matriu dels coeficients i el de la matriu ampliada ens resulta: rang$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)$=2, i rang $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 7\\ 2& 1& 1& 8\\ 1& -1& 0& 2\end{array}\right)=3,$ i del teorema de Rouché Frobenius obtenim que el sistema és incompatible (no té cap solució).