En aquesta entrada determinarem els possibles valors màxims i mínims que puga prendre la funció: $y=\frac{x}{1+x^2}$

Per a fer això anem primer a calcular la derivada de la funció anterior:

$y\text{'}=\frac{1\cdot \left(1+x^2\right)-x\cdot \left(2x\right)}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2{)}^2}\mathrm{.}$

Igualant aquesta derivada a zero:

$\frac{1-x²}{(1+x^2{)}^2}=0$

Clarament, el denominador en la igualtat anterior no pot ser mai 0; de fet, per a qualsevol valor de la variable $x,$ el denominador ha de ser un nombre real $>1.$ Llavors podem multiplicar els dos membres de l'equació pel denominador, quedant ésta última així:

$1-x^2=0,$ o bé $x^2=1,$ de manera que els punts crítics són $x=-1$ i $x=1.$

Els intervals de monotonia que aquestos punts crítics determinen són els tres següents:

$\left(-\infty ,-1\right),$ $\left(-1,1\right)$ i $\left(1,+\infty \right)$

En cadascun d'aquestos intervals, la funció és creixent o decreixent en tot l'interval però, cóm sabem si en un interval concret dels anteriors la funció creix o decreix?

Una manera d'averiguar-ho consisteix en aplicar la definició de funció creixent (o decreixent): una funció $f\left(x\right)$ és creixent en un interval de monotonía $I$, si donats dos valors $x,y\in I,$ tals que $x<y,$ es verifica que $f\left(x\right)<f\left(y\right)\mathrm{.}$ Si, pel contrari al prendre dos valors qualssevol $x,y\in I,$ tals que $x<y,$ es verifica que $f\left(x\right)>f\left(y\right),$ llavors diem que la funció és decreixent en l'interval de monotonia $I\mathrm{.}$

Prenent el primer dels tres intervals anteriors, podem considerar els punts d'abscissa -3 i -2, on és clar que $-3<-2,$ calculem $f\left(-3\right)=\frac{-3}{1+(-3{)}^2}=-\frac{3}{10}=-0,3.$ Tot seguit calculem $f\left(-2\right)=\frac{-2}{1+(-2{)}^2}=-\frac{2}{5}=-\frac{4}{10}=-0,4.$ Com que per a $-3<-2$ tenim $f\left(-3\right)>f\left(-2\right)$, deduim que la funció és decreixent en el primer dels tres intervals en els quals la funció és monòtona.

Un altra manera d'averiguar si la funció creix o decreix en un interval de monotonia consisteix en prendre un punt d'abscissa arbitrari $x_0$ d'eixe interval. Si la derivada de la funció $f$ en eixe punt, $f\text{'}\left(x_0\right)>0,$ llavors la funció creix en tots els punts d'aquest interval. Si, pel contrari $f\text{'}\left(x_0\right)<0,$ la funció és decreixent en cada punt de l'interval de monotonia. Emprarem aquest últim mètode per avaluar si en els altres intervals de monotonia la funció creix o decreix.

Agafem primer l'interval (-1,1). És clar que 0 és un punt d'aquest interval. Tenim que $y{\text{'}}_0=f{\text{'}}_0=\frac{1-0^2\cdot }{(1+0^2{)}^2}=\frac{1}{1}=1.$ Com que 1>0, la funció és creixent en aquest interval.

L'últim interval a considerar és $\left(1,+\infty \right)\mathrm{.}$ Com que $2\in \left(1,+\infty \right),$ podem agafar el 2 per a avaluar $f\text{'}\left(2\right)\mathrm{.}$ Tenim $f\text{'}\left(2\right)=\frac{1-(-2{)}^2}{(1+(-2{)}^2{)}^2}=\frac{-3}{25}<0,$ per tant concluim que la funció $f\left(x\right)$ decreix en aquest últim interval de monotonia.

Resumint tota aquesta informació, la funció $y=\frac{x}{1+x^2}$ decreix en l'interval $\left(-\infty ,-1\right),$ creix en l'interval $\left(-1,1\right)$ i torna a ser decreixent en l'interval $\left(1,+\infty \right)\mathrm{.}$

La funció té un mínim absolut en el punt d'abscissa $-1,$ que és $y=f\left(-1\right)=\frac{-1}{1+(-1{)}^2}=-\frac{1}{2}=-0,5.$

En el punt d'abscissa 1, la funció té un màxim, que és $y=\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}=0,5.$

Podem veure això en el següent gràfic: